Gurke zebraartig schälen, längs halbieren, entkernen und in feine Scheiben schneiden. Basilikumblätter von den Zweigen zupfen und in Streifen schneiden. Den Saft der Limetten auspressen. Alle diese Zutaten mit dem Puderzucker in einem hohen Becher mit dem Stabmixer oder im Standmixer sehr fein pürieren.

Die Mischung entweder kalt stellen und gut ½ Stunde vor dem Essen in einer Glacemaschine cremig gefrieren – oder aber man gibt die Gurkenmasse in eine Schüssel und gefriert sie im Tiefkühler;
dabei muss sie nach etwa einer ¾ Stunde mit dem Stabmixer gut durchgearbeitet werden, damit sich keine Eiskristalle bilden. Anschliessend das Ganze noch 2−3-mal wiederholen, bis die Masse
cremig gefroren ist.

Für die Suppe den Backofen auf 230 Grad vorheizen. Das Ofenblech mit Backpapier belegen.

Die Peperoni vierteln, Stiel, Scheidewände und Kerne entfernen und mit der Hautseite nach oben auf das vorbereitete Blech legen, dabei mit der Hand möglichst flach drücken. Im oberen Drittel des heissen Ofens so lange backen, bis die Peperonihaut schwarze Blasen wirft. Herausnehmen, mit einem feuchten Küchentuch decken und 10 Minuten ruhen lassen. Dann mithilfe eines spitzen Messers die Haut abziehen. Die Peperoni in Stücke schneiden.

Knoblauch schälen und sehr fein hacken. 4−8 schöne kleine Basilikumblättchen abzupfen und beiseitelegen. Restliches Basilikum ebenfalls fein hacken.

Tomatensaft, Peperoni, Knoblauch und Basilikum in einem hohen Becher mit dem Stabmixer oder im Standmixer möglichst fein pürieren. In eine Schüssel geben, die Mayonnaise kräftig unterrühren und die Suppe mit Balsamico, Salz und Pfeffer abschmecken. Im Tiefkühler etwa 30 Minuten kalt stellen, aber nicht gefrieren. Wenn man Zeit hat, kann man die Suppe auch im Kühlschrank 3−4 Stunden durchziehen lassen.

Zum Anrichten jeweils 1 Kugel Sorbet auf 4 tiefe Teller geben. Die Peperonisuppe nochmals kurz aufmixen und um das Sorbet herum angiessen. Die Suppe mit etwas Olivenöl beträufeln und mit
den beiseitegelegten Basilikumblättchen garnieren. Sofort servieren.